İstatistik Dersleri: Ders 47
İstatistikte varyans, bir veri setindeki değerlerin aritmetik ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını ifade eden önemli bir merkezi dağılım ölçüsüdür. Verilerin dağılımı hakkında bilgi sunmakla kalmaz; aynı zamanda standart sapma hesabının da temelini oluşturur. Varyans hesaplanırken, her bir değerin ortalamadan farkının karesi alınarak bu kareler toplanır ve ana kütle ya da örneklem olup olmamasına göre eleman sayısına veya eleman sayısının bir eksiğine bölünür. Bu yöntem, ortalamadan uzaklaşmaları büyüterek veri setindeki dağılımın daha iyi anlaşılmasını sağlar.
Varyans hesaplamasında iki temel formül kullanılır:
Ana kütle (evren) varyansı:
Örneklem varyansı:
Bu formüller, varyansın nasıl hesaplandığını açıkça gösterir. Şimdi adım adım varyans hesabını ve örnekleri görelim.
Örnek 1: Ana Kütle Varyansı Hesabı
Veri seti: 5, 6, 8, 10, 11
Aritmetik Ortalama: Veri setinin toplamı 40 olduğundan, ortalama 40/5=8 olur.
Tabloyu Oluşturun: Verilerin ortalamadan farkları ve farkların kareleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
x | µ | x−µ | (x - µ)^2 |
5 | 8 | -3 | 9 |
6 | 8 | -2 | 4 |
8 | 8 | 0 | 0 |
10 | 8 | 2 | 4 |
11 | 8 | 3 | 9 |
Σ = 26 |
Varyans Hesabı: Formülü uygulayarak varyansı hesaplayalım. 26/5=5,20.
Örnek 2: Ana Kütle Varyansı Hesabı
Veri seti: 1, 2, 5, 6, 6, 8, 10, 18
Aritmetik Ortalama: 56/8=7.
Tabloyu Oluşturun:
x | µ | x−µx | (x - µ)^2 |
1 | 7 | -6 | 36 |
2 | 7 | -5 | 25 |
5 | 7 | -2 | 4 |
6 | 7 | -1 | 1 |
6 | 7 | -1 | 1 |
8 | 7 | 1 | 1 |
10 | 7 | 3 | 9 |
18 | 7 | 11 | 121 |
Σ = 198 |
Varyans Hesabı: 198/8=24,75.
Örnek 3: Örneklem Varyansı Hesabı
Veri seti: 3, 4, 6, 10, 12
Aritmetik Ortalama: 35/5=7.
Tabloyu Oluşturun:
x | xˉ | x−xˉ | (x−xˉ)2 |
3 | 7 | -4 | 16 |
4 | 7 | -3 | 9 |
6 | 7 | -1 | 1 |
10 | 7 | 3 | 9 |
12 | 7 | 5 | 25 |
Σ = 60 |
Varyans Hesabı: 60/4=15.
Örnek 4: Örneklem Varyansı Hesabı
Veri seti: 7, 9, 10, 11, 13
Aritmetik Ortalama: 50/5=10.
Tabloyu Oluşturun:
x | xˉ | x−xˉ | (x−xˉ)2 |
7 | 10 | -3 | 9 |
9 | 10 | -1 | 1 |
10 | 10 | 0 | 0 |
11 | 10 | 1 | 1 |
13 | 10 | 3 | 9 |
Σ = 20 |
Varyans Hesabı: 20/4=5.
Varyansın Yorumu ve Önemi
Yukarıdaki örneklerden de görüldüğü gibi, varyans değeri arttıkça verilerin ortalamadan daha fazla uzaklaştığı, dağılımın genişlediği anlaşılmaktadır. Ancak varyans doğrudan, verilerin ortalamadan ortalama olarak "şu kadar" saptığını ifade etmez. Örneğin, 5,20 değeri, verilerin ortalamadan tam olarak 5,20 birim saptığını göstermez. Bunun yerine, verilerin ortalamadan ne kadar dağıldığı hakkında genel bir fikir sunar. Ayrıca, varyans standart sapmanın hesaplanması için gerekli bir adımdır; standart sapma varyansın karekökü alınarak bulunur.
Varyansın Temel Özellikleri
Merkezi dağılım ölçüsüdür: Varyans, veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını ölçer.
Büyüklüğü dağılım hakkında bilgi verir: Varyansın büyük olması, verilerin ortalamadan uzaklaştığını, küçük olması ise verilerin ortalamaya yakın olduğunu gösterir.
Standart sapmanın temelidir: Varyans, standart sapma hesaplamasında kullanılan bir ara değerdir.
Eşit veri değerleri için sıfırdır: Tüm veri değerleri aynıysa varyans sıfır olur.
Bu detaylarla varyans, verilerin dağılımını ve merkezden sapma miktarını anlamak için oldukça işlevseldir.
Not: Bu yazı, doçent bir hocamız tarafından kaleme alınmıştır. Ticari olarak yayınlanamaz. (c) Her hakkı saklıdır.