Standart Sapma Nedir? Nasıl Hesaplanır?

İstatistik Dersleri: Ders 48

Önceki dersimizde varyans kavramını ele almış ve veri setinin ortalamadan ne kadar sapma gösterdiğini anlamak için varyansı nasıl hesaplayacağımızı incelemiştik. Bu dersimizde ise varyansla yakından ilişkili olan standart sapmayı anlatacağız. Standart sapma, verilerin dağılımı hakkında bize en doğru ve en yaygın kullanılan bilgiyi sağlar. Varyansta olduğu gibi veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını ifade eder, ancak sonucu elde etmek için bir ek işlem olarak karekök alınır.

Standart Sapma Nasıl Hesaplanır?

Standart sapmayı adım adım anlamak için işlemleri sırayla inceleyelim. Standart sapma formülü varyansa çok benzer; aradaki tek fark, sonuçta elde edilen değerin karekökünün alınmasıdır.

1. Aritmetik Ortalama Bulunur: İlk adımda, veri setinin aritmetik ortalaması hesaplanır.

2. Sapmaların Karesi Alınır: Her bir veri değeri için ortalamadan fark bulunur ve bu farkın karesi alınır.

3. Toplam Karelerin Ortalama Hesabı:

   • Evren için karelerin toplamı veri sayısına (N) bölünür.

   • Örneklem için ise karelerin toplamı eleman sayısının bir eksiğine (n - 1) bölünerek elde edilir.

4. Karekök Alınarak Standart Sapma Bulunur: Varyanstan elde edilen değerin karekökü alınarak standart sapma hesaplanır.

Standart Sapma Hesaplama Örneği

Şimdi, örneklem veri seti kullanarak standart sapmanın nasıl hesaplandığını görelim.

Örneklem Veri Seti: 4, 10, 16

1. Aritmetik Ortalama: (4 + 10 + 16) / 3 = 10

2. Sapmaların ve Karelerinin Hesabı:

X	x̅	x - x̅	(x - x̅)²
4	10	-6	36
10	10	0	0
16	10	6	36
Σ			72

3. Toplam Karelerin Bölünmesi ve Karekök Alınması:

   • Örneklem için: s=72/2=36. Karekökü=6.

Bu sonuç, veri setindeki değerlerin ortalamadan ortalama olarak 6 birim uzaklaştığını ifade eder.

Standart Sapmanın Temel Özellikleri

Standart sapma ile ilgili bilinmesi gereken bazı temel özellikler şunlardır:

• Standart sapma bir merkezi dağılım ölçüsüdür ve verilerin ortalamadan ne kadar sapma gösterdiğini ölçer.

• Standart sapmanın küçük olması, veri değerlerinin ortalamaya daha yakın olduğu anlamına gelir; büyük bir standart sapma ise verilerin ortalamadan daha fazla uzaklaştığını gösterir.

• Tüm veri değerleri aynıysa standart sapma sıfırdır (0).

• Standart sapma, özellikle verilerin ortalama etrafında nasıl dağıldığını anlamak için kullanılan en güvenilir ölçülerden biridir.

Daha Kapsamlı Örnekler

Standart sapmayı daha iyi anlamak için birkaç farklı veri seti üzerinden örnek hesaplamalar yapalım.

Örnek 1: Evren Veri Seti

Veri seti: 4, 10, 16, 22, 28

1. Aritmetik Ortalama: (4 + 10 + 16 + 22 + 28) / 5 = 16

2. Sapmalar ve Kareleri:

X	μ	x - μ	(x - μ)²
4	16	-12	144
10	16	-6	36
16	16	0	0
22	16	6	36
28	16	12	144
Σ			360

3. Standart Sapma Hesabı:

   σ=360/5=72. Karekökü=8,49.

Bu sonuç, veri setindeki değerlerin ortalamadan 8,49 birim sapma gösterdiğini ifade eder.

Örnek 2: Evren Veri Seti

Veri seti: 14, 15, 16, 17, 18

1. Aritmetik Ortalama: (14 + 15 + 16 + 17 + 18) / 5 = 16

2. Sapmalar ve Kareleri:

X	μ	x - μ	(x - μ)²
14	16	-2	4
15	16	-1	1
16	16	0	0
17	16	1	1
18	16	2	4
Σ			10

3. Standart Sapma Hesabı:

   σ=10/5=2. Karekökü=1,41.

Bu iki örnekteki ortalama aynı olmasına rağmen, birinci veri setindeki standart sapmanın daha büyük olduğu dikkat çekiyor. Bu durum, ilk veri setindeki değerlerin ortalamadan daha fazla sapma gösterdiğini ve daha geniş bir dağılıma sahip olduğunu gösterir.

Sonraki Derste Bizi Ne Bekliyor?

Standart sapma ile dağılımın genişliği hakkında bilgi sahibi olduk. Gelecek dersimizde, verilerin ortalamadan göreli uzaklığını ölçmek için kullanılan Değişim Katsayısını (Varyasyon Katsayısı) inceleyeceğiz. Bu ölçü, farklı veri setleri arasında karşılaştırma yapmayı kolaylaştıran oldukça faydalı bir araçtır.

Not: Bu yazı, doçent bir hocamız tarafından kaleme alınmıştır. Ticari olarak yayınlanamaz. (c) Her hakkı saklıdır.